前两天提公因式法2.分组分解法十字相乘法系数待定

前两天做题遇到一道关于因式分解的题目：

因式分解： \left(x^{2}+3 x+2\right)\left(4 x^{2}+8 x+3\right)-90

刚看到这道题觉得很简单，通过简单的运算可知：

\left(x^{2}+3 x+2\right)\left(4 x^{2}+8 x+3\right)-90=4x^4+20x^3+35x^2+25x-84

因为自己脑海中浮现出来的就是因子定理，如果我能找到一个常数 c 使得上述代数式为0，那么就找到了其中的因子，接着就可以降次继续找了。心里想的很美，然后第一个因子也找的很快，把1带入就等于0。于是，它含有一个因子 (x-1) 再用一下长除法，可知：

4 x^{4}+20 x^{3}+35 x^{2}+25 x-84=(x-1)(4x^3+24x^2+59x+84)

额...接下去要找 4 x^{3}+24 x^{2}+59 x+84=0 的根，感觉要用一下试根法( root test)。所以我硬着头皮找了一下，没找两个就想这个要是考试不就凉凉了。所以肯定是有好的方法的。因此，就简单回忆了一下因式分解的常用方法：

1.提公因式法

2.公式法

3.十字相乘法（双十字相乘法）

4.待定系数法

5.求根法

6.分组分解法

一、提公因式法

这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了前两天提公因式法2.分组分解法十字相乘法系数待定，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：

因式分解下列多项式：

(1)x^{3} y-x y^{3}=xy(x^2-y^2)=xy(x+y)(x-y) ;

(2) 3x^3-18x^2+27x=3x(x^2-6x+9)=3x(x-3)^2 ;

(3) 3a^3+6a^2b-3a^2c-6abc=3a(a^2+2ab-ac-2bc)

=3a[a(a-c)+2b(a-c)]=3a(a+2b)(a-c).

二、公式法

因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：

\begin{array}{l} (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b \\ (a \pm b)^{2}=a^{2} \pm 2 a b+b^{2} \\ (a \pm b)^{3}=a^{3} \pm 3 a^{2} b+3 a b^{2} \pm b^{3} \\ a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \\ a^{3} - b^{3}=(a - b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)\\ a^{3} + b^{3}=(a + b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\\(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a\\ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right) \end{array}

还有两个常考的 n 次方展开的公式：

\begin{array}{l} a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^{2}+\cdots+a b^{n-2}+b^{n-1}\right) (n\in Z^+)\\ a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2} b+a^{n-3} b^{2}-\cdots-a b^{n-2}+b^{n-1}\right)(\text{n is odd}) \end{array}

例题：

因式分解： \left(a^{2}+b^{2}-1\right)^{2}-4 a^{2} b^{2}

=(a^2+b^2-1+2ab)(a^2+b^2-1-2ab)

=[(a+b)^2-1][(a-b)^2-1]

=(a+b+1)(a+b-1)(a-b+1)(a-b-1)

三、十字相乘法（双十字相乘法）

简单的十字相乘其实就是公式 (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab 的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。熟练的时候也不会想什么口诀，就这样做下来了。

比十字相乘法再进一步的还有双十字相乘法，这种方法适用的是型如： A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F 的多项式，方法的原理如下图

图：双十字相乘法示意图（来自百度百科）

利用双十字分解法的步骤就是

1.先用十字相乘法分解 a x^{2}+b x y+c y^{2} ，得到 a_1,a_2,b_1,b_2 ;

2.把常数项 f 进行拆分得到 f_1,f_2 ，使得 +=d,=e ;

3.最后就得到了 a x^{2}+b y^{2}+c x y+d x+e y+f=\left(a_{1} x+b_{1} y+f_{1}\right)\left(a_{2} x+b_{2} y+f_{2}\right) .

看着有点复杂吗？那么来一道例题好了

例题：

因式分解：2 x^{2}-7 x y-22 y^{2}-5 x+35 y-3

首先考虑 2 x^{2}-7 x y-22 y^{2}=(x+2y)(2x-11y)

然后考虑 -3 分解，使得x,2x 与 2y,-11y 分别交叉相乘得到 -5x,35y 。这个还是比较容易的，很快就能发视 -3=-3\times 1 就可以了。

最后可知：

2 x^{2}-7 x y-22 y^{2}-5 x+35 y-3=(x+2 y-3)(2 x-11 y+1)

四、待定系数法

待定系数法，肯定就是设未知数然后去解方程，比如分解如下多项式： x^{3}-4 x^{2}+2 x+1 ，是一个一元三次多项式，一般分解肯定是一个一次多项式乘以一个二次多项式，所以不妨设:

x^{3}-4 x^{2}+2 x+1=(x+a)(x^2+bx+c)

如果多项式相等，那么两个多项式每一项前对应的系数相等，所以所以我们就可以得到关于 a,b,c 的三个方程，接着求解出来就可以了。 最后可知：x^{3}-4 x^{2}+2 x+1=(x-1)\left(x^{2}-3 x-1\right)

其实前面的双十字相乘法中，如果我们不知道如何拆分 f ,那么就可以用待定系数的方法，不妨设 f=f_1\cdot f_2 ，然后通过解方程的方法去求解 f_1,f_2 .

再来一道题看看

例题：

因式分解： x^{2}+3 x y+2 y^{2}+4 x+5 y+3

由于 \left(x^{2}+3 x y+2 y^{2}\right)=(x+2 y)(x+y)

不妨设两个一次项分别为 (x+2 y+m),(x+y+n)

于是：

x^{2}+3 x y+2 y^{2}+4 x+5 y+3=x^{2}+3 x y+2 y^{2}+(m+n) x+(m+2 n) y+m n

比较对应系数可知，m=3,n=1

所以解卦方法，

x^{2}+3 x y+2 y^{2}+4 x+5 y+3=(x+2 y+3)(x+y+1) .

五、求根法

求根法其实就是我最开始想到的方法，基于的就是因式定理：

若 a 是一元多项式 f(x) 的根，即 f(a)=0 成立，则多项式 f(x) 有一个因式 (x-a) .

所以面对一个多项式解卦方法，我们只要找到一个常数使得多项式为0，那么我们就能够把原本的多项式次数降下来。看到例题就明白了：

例题：

因式分解： x^{3}-4 x^{2}+6 x-4

这里尝试发现 2^{3}-4 \times 2^{2}+6 \times 2-4=0 ，所以必有一个因子 (x-2) ,再根据长除法可知:

x^{3}-4 x^{2}+6 x-4=(x-2)\left(x^{2}-2 x+2\right) .

六、分组分解法

分组分解一看这个名字就知道是要把多项式进行分组，然后提取出公因子前两天提公因式法2.分组分解法十字相乘法系数待定，从而达到因式分解的目的。但是分组分解法有的时候没那么容易看出来，可能需要一点感觉。

我们利用分组分解法再来做一下上面的例题解卦方法，

例题：

（1）因式分解： x^{3}-4 x^{2}+6 x-4

\begin{array}{l} =\left(x^{3}-2 x^{2}\right)-\left(2 x^{2}-4 x\right)+(2 x-4) \\ =x^{2}(x-2)-2 x(x-2)+2(x-2) \\ =(x-2)\left(x^{2}-2 x+2\right) \end{array}

（2）因式分解： 9 x^{4}-3 x^{3}+7 x^{2}-3 x-2

\begin{array}{l} =9 x^{4}-3 x^{3}-2 x^{2}+9 x^{2}-3 x-2 \\ =x^{2}\left(9 x^{3}-3 x-2\right)+9 x^{2}-3 x-2 \\ =\left(9 x^{2}-3 x-2\right)\left(x^{2}+1\right) \\ =(3 x+1)(3 x-2)\left(x^{2}+1\right) \end{array}

那么回过头来我们再看看最开始的那道题：

因式分解： \left(x^{2}+3 x+2\right)\left(4 x^{2}+8 x+3\right)-90

【详解】

\begin{array}{l} =4 x^{4}+20 x^{3}+35 x^{2}+25 x-84\\ =(2x^2)^2+2\^2\cdot 5x+(5x)^2+10x^2+25x-84\\ =(2x^2+5x)^2+10x^2+25x-84\\ =(2x^2+5x)^2+5\cdot(2x^2+5x)-84\\ (2x^2+5x+12)(2x^2+5x-7). \end{array}

这道题我用的方法是分组分解法和公式法，刚开始想用换元令 y=x^2 再用双十字相乘法，但是没有算出来。不知道还有没有更好的方法，欢迎交流讨论~

非常感谢知友 @张锦州 提供的方法：

\begin{array}{l} =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90\\ =[(x+1)(2x+3)]\cdot[(x+2)(2x+1)]-90\\ =(2x^2+5x+3)(2x^2+5x+2)-90 \end{array}

令 t=2x^2+5x+3

于是

\begin{array}{l} =t(t-1)-90\\ =t^2-t-90\\ =(t-10)(t+9) \end{array}

因此， \left(x^{2}+3 x+2\right)\left(4 x^{2}+8 x+3\right)-90=\left(2 x^{2}+5 x+12\right)\left(2 x^{2}+5 x-7\right) .

哈哈，估计出题者就是想这么考的~